对于人工智能从业者来说，概率论和数理统计是十分重要的数学知识，大家一定要给以高度重视。在《概率论和数理统计》这个学科中，有两个非常基础并且十分重要的定理：大数定理和中心极限定理，大家更要有深刻的理解。因为这两个定理十分抽象，给人一种模糊、朦胧的感觉，从而不被人们所重视。其实不然，这两个定理是概率论的基石，整个概率论就是建立在它们之上的，没有它们的存在，概率论就不是一门学科，仅仅是一种经验罢了。
稍有常识的人都知道，俄罗斯的数学非常强大。可以说，现代《概率论》就出自于俄罗斯数学家之手，没有俄罗斯就没有现代《概率论》。大数定律，最初由伯努利提出核心思想，后经泊松、切比雪夫等人完善。中心极限定理，最初由棣莫弗和拉普拉斯开创，后经林德伯格、列维和李雅普诺夫完成现代形式。俄罗斯的数学家，深度参与了《概率论》这门学科的建立和发展。
我认为，学好《概率论》这门学科，不仅要掌握基础的数学公式和原理，更要了解这些数学知识背后的故事，从而让冰冷的数学公式变成有血有肉的人间故事，这样才能激发大家学习的兴趣，从而可以实现知识的长期积累和沉淀。基于这种目的，我想给大家说一些关于俄罗斯数学家的故事。很多人感到奇怪，俄罗斯的经济这么差，为什么俄罗斯的数学那么强？其实，数学研究绝不是靠某个天才的一己之力，而是需要一个庞大的学术传承体系。俄罗斯的数学传承源远流长，大家可以从这篇文章窥见一二。
当然，俄罗斯的数学分为两大学派：切比雪夫学派（圣彼得堡）和叶戈罗夫学派（莫斯科），在本文中都有相关的介绍，大家可以仔细查找。
1、柯尔莫哥洛夫的故事
1943年的一个春日，美国统计学家沃尔夫维茨踏上了前往苏联的旅程。作为盟军的一员，他此行有着特殊的使命——确认一个在数学界如雷贯耳的名字背后，到底隐藏着什么秘密。当他见到柯尔莫哥洛夫本人后，忍不住开玩笑说：＂我来苏联的一个特别目的，就是要确定柯尔莫哥洛夫到底是一个人呢，还是一个研究机构？＂
这个玩笑背后藏着当时整个西方数学界的困惑。柯尔莫哥洛夫在1930年代的十年间，竟然在概率论、射影几何、数理统计、实变函数论、拓扑学、逼近论、微分方程、数理逻辑、生物数学等十几个完全不同的领域发表了80多篇论文，平均每年8篇，而且每一篇都有新概念、新思路、新方法。更让人瞠目结舌的是，1940年代这家伙又跑去搞湍流理论，1941年一口气发了三篇文章，这个理论后来成了空气动力学和潜艇设计的基础，直接奠定了柯尔莫哥洛夫成为流体力学界一代宗师的地位。
在那个信息传播缓慢的年代，西方学者很难想象一个人怎么可能在如此多的领域同时取得突破性成就。他们更愿意相信这是某个神秘研究机构的集体智慧结晶，而柯尔莫哥洛夫只不过是个代言人罢了。
然而真相远比想象复杂。柯尔莫哥洛夫确实是个天才，但他的成就绝非凭空而来的灵光一现。回溯他的成长轨迹，我们发现这位数学巨匠背后站着一个庞大的学术传承体系。他的老师鲁津，本身就是莫斯科数学学派的关键人物，不仅研究出色，还善于教学，编写过多部经典教科书。卢津还有另外一名出色学生，即科尔莫戈罗夫。欧几里得对几何学的公理化，影响深远，与之类似的工作是概率论公理化。这项工作由科尔莫戈罗夫完成的，他提出以测度论为基础的概率论公理体系，将概率论转变为严格的数学分支。而鲁津的发现者叶戈罗夫，早在19世纪末就在莫斯科大学开办数学讨论班，鼓励学术交流，为数学从经典向现代转型做出了突出贡献，最终形成了叶戈罗夫学派。
2、欧拉的故事
更往前追溯，我们会发现一条清晰的学术血脉。18世纪时，那个在圣彼得堡待了31年的欧拉，不仅为俄罗斯留下了大量珍贵的数学财富，更重要的是培养了一批本土数学家。
欧拉来到俄国并非偶然，而是他的好友丹尼尔·伯努利的邀请。当时丹尼尔因为哥哥尼古拉二世死于阑尾炎而深感孤独，想到了父亲约翰·伯努利的得意门生欧拉。1727年5月17日，年仅20岁的欧拉踏上了前往圣彼得堡的路程，从此开启了俄罗斯数学的黄金时代。
日后，欧拉在数学领域封神，名气远超丹尼尔·伯努利。实际上，1727年欧拉到达圣彼得堡后，做的是丹尼尔的助手。丹尼尔曾回忆说，无论自己有什么想法，欧拉都能第一时间领会。正是在这种学术氛围中，欧拉完成了大量开创性工作，而丹尼尔也在一次无聊的实验中发现了著名的＂伯努利原理＂—— 在水流或气流中，速度小则压强大，速度大则压强小。
俄罗斯的数学传统起源于彼得大帝时期。回到1724年，彼得大帝建立俄国科学院时就有一个明确想法：给教授们充足的资金来源和一个规模庞大的综合图书馆，只招收很少的学生，减轻教授们的教学负担，让他们有充分的时间和自由去探究科学问题。这种＂重研究、精培养＂的模式，为后来俄罗斯数学的辉煌埋下了种子。
真正让这颗种子开花结果的，是一套完整的学派传承体系。以圣彼得堡学派为例，从约翰·伯努利开始，这条学术血脉就像接力赛一样代代相传。约翰不仅自己是数学大师，更重要的是培养了一大批出色的数学家，包括18世纪最著名的欧拉、瑞士数学家克莱姆、法国数学家洛必塔，以及自己的儿子丹尼尔。
丹尼尔·伯努利的故事特别有意思。这个孩子从小就对数学有特别的爱好，但父亲约翰劝他＂数学挣不到钱＂，建议他经商。丹尼尔很执着，一边修习医学，一边私下瞒着父亲进行数学研究。1725年，25岁的丹尼尔受聘为圣彼得堡科学院数学教授时，还拉上了哥哥尼古拉二世一起去。可惜尼古拉二世因为阑尾炎去世了，丹尼尔非常难过，就想到了父亲的学生欧拉，邀请他来俄国工作。
3、切比雪夫的故事
欧拉的影响远不止个人成就。他培养的学生中，最杰出的是切比雪夫。而切比雪夫则是圣彼得堡学派的缔造者和代表人物。切比雪夫的主要研究方向是分析，他在概率论，数论，函数论方面成就斐然。
切比雪夫有两位非常著名的学生马尔可夫(1856-1922)和李亚普洛夫(1857-1918)。马尔科夫对数学的最大贡献是在概率论领域作出的，他主要是沿着切比雪夫开创的方向，致力于独立随机变量和古典极值理论的研究，从而改进和完善了大数定律和中心极限定理。其后，他的兴趣转移到相依随机变量序列的研究上来，从而创立了以他命名的著名概率模型—马尔科链。李亚普洛夫则是微分方程稳定性理论的开创者之一，同时，他创立了特征函数法，实现了概率论极限定理在研究方法上的突破，这个方法的特点在于能保留随机变量分布规律的全部信息，提供了特征函数的收敛性质与分布函数的收敛性质之间的一一对应关系，给出了比切比雪夫、马尔可夫关于中心极限定理更简单而严密的证明，他还利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。
概率论中有两大基本问题：大数定理和中心极限定理。大数定理研究的对象是大量独立或弱相依因素累积结果所发生的规律，而中心极限定理讨论的是随机变数和依分布收敛到正态分布的条件。这两大基本问题都是依靠切比雪夫、马尔可夫、李亚普洛夫师徒三人完成的，从而奠定了数学界的圣彼得堡学派，进而享誉世界，让俄罗斯成为名副其实的数学强国。